Программа  по курсу "Дифференциальные уравнения"
(специальность - прикладная математика)






1. Определение дифференциального уравнения. Примеры: задача народонаселения, радиоактивный распад, рост популяции бактерий, движение точки под действием силы.
[1] гл. 1, ╖ 1 , [2] стр. 7-8, [3] гл.1, ╖ 1.

2. Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Радиактивный распад с притоком вещества.
[1] гл. 1, ╖ 2, Б), [2] гл. 2, ╖ 7, [3] гл. 1,  ╖ 4.

3. Уравнение с разделяющимися переменными. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для уравнения с разделяющимися переменными. Примеры: 1)   y'= sqrt(3)y (неединственность); 2) x▓ =kx^2 (взрыв).
[1] гл. 1, ╖ 2 (примеры), [2] гл. 2, ╖ 5.

4. Геометрический смысл дифференциального уравнения и систем уравнений.
[1] гл. 1, ╖ ╖ 1, 3, [2] гл. 1, ╖ 2.

5. Понятие о методе ломанных Эйлера и методе Рунге--Кутта. Сходимость метода  Эйлера.
[2] гл. 3, ╖ 9.

6. Общие системы дифференциальных уравнений и их сведение к нормальным. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для общей системы.
[1] гл. 4, ╖ 21.

7. Уравнения в дифференциалах. Уравнения в полных дифференциалах (теорема существования и единственности решения задачи Коши). Признаки уравнения в полных дифференциалах (необходимое и достаточные условия). Интегрирующий множитель. Примеры.
[2] гл. 2, ╖ 8, [3] гл. 2, ╖ 3.

8. Комплексные дифференциальные уравнения. Показательная функция комплексного аргумента.
[1] гл. 1, ╖ 5.

9. Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Случай простых корней. Вещественные решения уравнений с вещественными коэффициентами. Примеры:
x▓▓ - a^2x = 0, x▓▓ +a^2x = 0, x▓▓ + 2h x▓ +omega ^2 x=0.
[1] гл. 2, ╖ 7, [3] гл. 6, ╖ 1.

10. Случай кратных корней. Лемма 1 (формула смещения). Лемма 2 (о базисе). Теорема об общем решении.
[1] гл. 2, ╖ 8.

11.Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Случай, когда правая часть --- квазимногочлен. Теорема о виде частного решения.
[1] гл. 2, ╖ 10.

12. Гармонический осциллятор без трения и с трением. Вынужденные колебания. Явление резонанса. Математическое определение резонанса.
[1] гл. 2, ╖ 12, [3] гл. 6, ╖ 1, примеры \ 9, 10.

13. Уравнение Эйлера. Сведение к уравнению с постоянными коэффициентами.
[3] гл. 6, ╖ 1, стр. 238-240.

14. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Метод исключения.
[1] гл. 2, ╖ 11.

15. Нормальные линейные системы дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Свойства решений однородной системы. Фундаментальная система решений. Теорема об общем решении. Критерий фундаментальности системы решений. Формула Лиувилля. Метод вариации постоянных. Понижение порядка системы.
 [1] гл.3, ╖ 17.

16. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка. Фундаментальная система решений. Формула Лиувилля.
[1] гл. 3, ╖ 18.

17.Дифференциальные уравнения второго порядка. Приведение к простейшим формам. Теория осцилляции решений. Теорема о неосцилляции. Теорема о нулях решений. Теорема  Штурма. Теорема сравнения и ее приложения. Метод степенных рядов.
[3] гл. 6, ╖ 2.

18. Нормальные системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Случай простых корней. Случай недиагонализируемых матриц.
[1] гл. 2, ╖ 14.

19. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения. Основная теорема для нормальной системы. Глобальная теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений.
[1] гл. 4, ╖╖ 20-22, [2] гл. 3, ╖ 14

20. Теорема единственности Осгуда. Непродолжаемые решения.
 [2] гл. 3, ╖ 12.

21. Теорема о непрерывной и дифференцируемой зависимости решения задачи Коши от параметров и от начальных данных. Метод малого параметра.
[1] гл. 4, ╖ 25.

22. Матричная экспонента. Формула общего решения для векторного линейного дифференциального уравненияю Явные формулы для экспоненты.
[4] гл. 3, ╖ ╖ 15-17.

23. Применение операционного метода к решению дифференциальных уравнений.
[5] гл. 2, ╖ 23, [6] гл. 1, ╖ 11.

24. Автономные системы дифференциальных уравнений. Кинематическая интерпретация. Фазовое прстранство. Фазовые траектории. Периодические движения. Равновесия и циклы. Случай одномерного фазового пространства.
[1] гл. 2, ╖ 15.

25. Фазовая плоскость двумерной линейной автономной системы. Устойчивый и неустойчивый узел. Устойчивый и неустойчивый фокус. Седло. Вырожденные случаи.
[1] гл. 2, ╖ 16, [4] гл. 3, ╖ 20.

26. Примеры построения фазовых портретов нелинейных автономных уравнений и систем.
[5] гл. 3, ╖ 33.

27. Первые интегралы автономных систем. Закон сохранения энергии в механике.
[1] гл. 4, ╖ 25.

28. Консервативная система с одной степенью свободы. Фазовый портрет. Случай математического маятника.
[4] гл. 2, ╖ 12.

29. Малые возмущения консервативной системы и предельные циклы. Уравнение Ван--дер--Поля. Автоколебания.
[4] гл. 2, ╖ 12, п. 10.

30. Дифференциальные уравненгия с частными производными первого порядка.
[1] гл. 4, ╖ 25, [2] ╖ ╖ 60-63.
 
 

ЛИТЕРАТУРА

[1] Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.:
Наука, 1965 (1970, 1983).
[2] Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных
 уравнений. М.: Наука, 1964(1970).
[3] Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М.: Физматгиз,
1959.
[4] Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука,
1971 (1984).
[5] Есипов А.А., Сазонов Л.И., Юдович В.И. Руководство к решению
задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Ростов-на-дону:
Изд-во РГУ, 1989.
[6] Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука,
1980.
 

Практические занятия проводятся по пособию [5].

В первом семестре проводятся три лабораторные работы:

Главная страница WWW-среды "Математические модели естетсвознания".
Архив динамических систем
Страница "Конспекты и планы курсов

Кафедра вычислительной математики и математической физики