Компьютерный эксперимент с динамическими системами


Цель данного спецкурса научиться изучать и исследовать динамические системы при помощи компьютера. Возможности аналитического исследования ограничены и часто возникает необходимость численного исследования. Исследование здесь понимается гораздо шире, чем просто решение задачи Коши или итерирование отображения и подразумевает как численный, так и символьный (аналитический) анализ при помощи компьютера.

План курса

1. Диссипативные и консервативные динамические системы. Примеры. Свойства.

2. Методы вычислений для уравнений в частных производных и конечномерные динамические системы. Метод Галеркина и метод конечных разностей.

3. Численные методы решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Методы Эйлера, Рунге-Кутта. Явные и неявные методы, выбор шага метода и др.

4. Сохранение и нарушение свойств исходной системы уравнений при численной аппроксимации. Равновесия (неподвижные точки). Сохранение свойств консервативных систем (существование интеграла) при численном решении.

5. Равновесия систем ОДУ. Устойчивость. Методы поиска равновесий, вырожденные случаи и связь с устойчивостью.

6. Бифуркации равновесий. Теорема о неявной функции. Типы особых точек.

7. Вывод уравнения разветвления в двойной точке. Доказательство существования двух веток равновесий.

8. Бифуркации равновесий и смена устойчивости. Семейства равновесий. Алгоритмы продолжения кривых равновесий по параметру.

9. Грубые и негрубые равновесия. Бифуркация Андронова-Хопфа. Жесткая и мягкая потеря устойчивости.

10. Отображение Пуанкаре. Численные реализации.

11. Бифуркации периодических решений. Численные методы поиска периодических решений.

12. Нелокальные бифуркации. Алгоритмы поиска гомоклинных и гетероклинных траекторий.

13. Показатели Ляпунова. Пример для отображений. Численный метод поиска спектра показателей Ляпунова.

14. Бифуркация удвоения. Приближенный анализ. Численные результаты.

15. Пути возникновения хаоса. Размерность Хаусдорфа. Критерии хаотичности.

16. Обзор существующего программного обеспечения для исследования динамических систем.

17. Использование средств компьютерной алгебры при анализе динамических систем.


Литература

На русском языке:

На английском языке:
 
 

Полезные ссылки



Страница "Конспекты и планы курсов
Главная страница WWW-среды "Математические модели естетсвознания". 


Автор страницы: Говорухин В.Н. (E-Mail: vgov@math.rsu.ru) Последние изменения 15 декабря 1998 г.